Differential-Geometrie

F1 Wie ist die Bogenmaß-Parameterisierung definiert?
F3 Erläutern Sie den Frenet-Rahmen! (3)
F2 Wie wird die Krümmung einer Kurve berechnet (innere Geometrie)? (4)
2 Erklären Sie den Unterschied zwischen innerer und äußerer Geometrie! (5)
F2 Wodurch ist die Tangential-Ebene und der Normalenvektor eines Punktes auf einer Oberfläche gegeben? Was sind Iso-Curves? Wann gilt eine Oberflächen-Parameterisierung als regulär? (6)
F1 Wodurch werden Richtungen in der Parameter-Domain auf Richtungen im R^3 abgebildet? (8)
F3 Erläutern Sie die Erste Fundamentalform! Was bedeutet sie? Geben Sie mindestens drei geometrische Interpretationen an! Erläutern Sie dies auch am Beispiel eines Zylinders! (8-10)
2 Was ist der Unterschied zwischen der Hauptnormale auf einer Kurve und der Surface-Normal in einem Punkt einer Oberfläche? (11)
F3 Leiten Sie die Zweite Fundamentalform her! Wie wird die Normal-Curvature im allgemeinen Fall berechnet? (12)
2 Wie lautet das Meusnier-Theorem? Was folgt daraus? (13)
2 Wie lässt sich die Zweite Fundamentalform interpretieren? (14)
F2 Wie werden die Hauptkrümmungen in einem Oberflächen-Punkt extrahiert? Erläutere außerdem Gauss- und Mean-Krümmung mit ihren Interpretationen. (15)
F2 Erläutere die Dupin Indicatrix! (16)
F2 Wie werden die Gauss- und die Mean-Krümmung diskret berechnet? (17)

Bezier Patches

F2 Wie sind die trivariaten Bezier Funktionen definiert? Nennen Sie alle Eigenschaften!
F2 Wie ist ein Dreiecks Bezier Patch definiert? Welche Eigenschaften hat es? Wie wird es ausgewertet?
F2 Wie die Boundary-Kurve definiert?
F3 Wie sind die Ableitungen innerhalb eines Bezier Patches definiert?
2 Erläutern Sie geometrisch die r-te Ableitung von Bezier Patches!
F2 Wie ist die Boundary-Ableitung definiert?
F2 Nennen Sie die Bedingungen für C^0 und C^1 Continuity zwischen Bezier Patches!
F3 Erläutern Sie die Bedingung für die G^1 Stetigkeit zwischen Bezier Patches!
3 Wir suchen nach C^1 stetigen Dreiecksnetzen. Finden Sie den Grad, ab dem wir genug Freiheitsgrade zur Modellierung besitzen! Erläutern Sie zeichnerisch alle Fälle bis dahin!
3 Wofür benötigt man den Clough-Tougher-Split? Erläutere diesen! Welche Stetigkeit/welchen Polynomgrad erzeugt er?
2 Benennen Sie kurz den Powell-Sabin-Split! Welche Stetigkeit/welchen Polynomgrad erzeugt er?
3 Wie funktioniert die Subdivision bei Bezier Patches? Erklären Sie auch den Fall zur Extraktion eines beliebigen Unterbereichs x_1, x_2, x_3!
2 Wie kann man nicht-parametrische Patches in parametrische umwandeln? (Greville-Abzisse)
2 Wie funktioniert die Degree Elevation von Bezier patches?

Tensor Product Patches

F3 Wie sind Tensor Product Patches definiert? Geben Sie auch die Matrixschreibweise an! (32)
3 Wie werden Tensor Product Patches ausgewertet! Was ist über die Reihenfolge der Auswertung zu sagen? (33)

Bezier Tensor Product Patches

2 Benennen Sie die Eigenschaften von Bezier TP-Patches! (33)
F3 Wie ist die Randkurve eines Bezier TP-Patches definiert? (33)
1 Gilt das Variation Diminishing Property auch bei Bezier TP-Patches? (34)
F3 Benennen Sie die partiellen Ableitungen der Bezier TP-Patches! Geben Sie auch eine allgemeine Form an! Wie ändert sich der Grad nach einer Ableitung? (34)
F2 Wie sind die Cross Boundary-Ableitung bei Bezier TP-Patches definiert? (35)
F2 Wodurch sind die Tangential-Ebenen in den Ecken eines Bezier TP-Patches definiert? (35)
F2 Erläutern Sie die Grad-Erhöhung von Bezier TP-Patches! (36)
F1 Geben Sie die lineare Reparametrisierung eines Bezier TP-Patches an. Erhöht eine Domain-Transformation den Grad der Oberfläche? (37)
F1 Benennen (und beweisen) Sie die C^0-Stegigkeits-Bedingung zwischen Bezier TP-Patches. (37)
F2 Benennen (und beweisen) Sie die C^1-Stegigkeits-Bedingung zwischen Bezier TP-Patches. (38)
1 Nennen Sie eine Situation wo C^1 Stegigkeit möglicherweise schwer zu erzielen ist. (39)
2 Wie lautet die G^1-Stegigkeits-Bedingung zwischen Bezier TP-Patches? (37)
F3 Vergleichen Sie Bezier-Dreiecks-Patches and Bezier TP-Patches bezogen auf Formel, Grad, Auswertungs-Schema, Ableitungen, Anzahl der Randkurven und Stetigskeitsanforderungen. (40)

Rational Patches

F2 Wie sind rationale Bezier-Dreiecks-Patches und rationale TP-Patches definiert? Geben Sie eine geometrische Erklärung an! (41-42)
2 Welche Eigenschaften haben Rational Patches? (41)
F2 Was ist bei der Ableitung von Rational Patches anders als bei normalen Patches? (42)
1 Nennen Sie eine paar Objekte, die sich mit Rational Patches darstellen lassen! (42)

B-Spline Tensor Product Patches

F3 Wie sind B-Spline Tensor Product Patches definiert? Wie werden sie ausgewertet? (44)
F3 Wie werden B-Spline Tensor Product Patches in Bezier-TP-Patches umgewandelt? (44)

CONS / Trimmed Surfaces

2 Was versteht man unter CONS und trimmed surfaces? Was ist die Motivation? (45)
2 Welchen Grad hat eine Kurve, die in der Parameter-Domain den Grad p hat, in einem TP-Patch von Grad (n+m)? (45)
2 Was ist das Problem bei CONS und trimmed surfaces? (45)

Subdivision

F3 Leiten Sie die Subdivison für reguläre TP-Patches (Quads) her! (46)
F2 Wie lautet der Lane-Riesenfeld-Algorithmus für Surfaces? (46)
3 Geben Sie ein paar Beispiele für Subdivison-Matrizen an! (46)
F3 Leiten Sie die Doo Sabin aus der regulären Subdivision her! (50)
3 Nennen Sie alle Eigenschaften der Doo Sabin-Subdivison! (51)
1 Motivieren Sie den Einsatz von Surface Splines! (52)
F3 Erläuteren Sie die Surface Splines! (52)

Simplex Splines

F1 Was ist ein Simplex? Wie ist ein n-dimensionaler Simplex definiert?
F3 Wie ist ein Simplex-Spline definiert? Welche Eigenschaften hat er?
2 Wieso sind Simplex-Splines nicht so gut zur Beschreibung von Surfaces geeignet? Was benutzt man alternativ?

Box Splines

F3 Nennen Sie mindestens zwei (von drei) Definitionen von Box Splines! (56)
3 Nennen Sie alle Eigenschaften von Box Splines (bis zu sieben)!
F2 Beweisen Sie induktiv, dass jede Box Spline ein Volumen von 1 abdeckt (intuitiv und mathematisch). (61)
F2 Welchen Grad hat ein Box Spline-Polynom? Wie bestimmt man die Kontinuität?
1 Bezeichnen Sie die abkürzende Notation für Box-Splines.
1 Nehmen wir an, wir fügen einen Vektor zu einem Box-Splines hinzu. In welchen Fällen wird die Smoothness erhöht? (62)
F3 Wie lautet die Ableitung eines Box-Splines an einem Punkt x in Richtung v_r? Leiten Sie diese hier! (62-63)
F3 Zeige, dass die Box-Splines eine Partition of Unity bilden! (65)
1 Wie wertet man Box-Splines aus? (65)
F2 Benennen Sie die Two-Scale-Relation von Box-Splines! (66)
F2 Wie werden im 2D die Subdivison Matrizen für Box-Splines erzeugt. Geben Sie auch die Formel an. (67)
F3 Geben Sie die Loop-Subdivison für Box Splines an. Welchen Grad und welche Stetigkeit hat sie? (67-68)
F2 Geben Sie die Catmull-Clark-Subdivison für Box Splines an!
2 Welche Kontinuität erzeugt die Loop-Subdivison im regulären und im allgemeinen Fall? (69)
2 Welche Kontinuität erzeugt die \sqrt(3)-Subdivision?	

Generelle Subdivision

F3 Geben Sie das Theorem für die Stetigkeit von Subdivision-Schemata auf generellen Netzen an!